کاربرد تبدیل لاپالس در تحلیل مدار

۱۶-۱- مقدمه

تبدیل لاپالس دو ویژگی دارد که آن را به ابزاری جالب توجه در تحلیل مدارها تبدیل کرده است. نخست به کمک آن می توان مجموعه ای از معادلات دیفرانسیلی خطی با ضرایب ثابت را به معادلات چند جمله ای خطی تبدیل کرد. دوم، در این تبدیل مقادیر اولیه متغیرهای جریان و ولتاژ خود به خود وارد معادلات چند جمله ای می شوند. بنابراین شرایط اولیه جزء لاینفک فرایند تبدیل اند. اما در روشهای کلاسیک حل معادلات دیفرانسیل شرایط اولیه زمانی وارد می شوند که می خواهیم ضرایب مجهول را محاسبه کنیم.

هدف ما در این فصل ایجاد روشی منظم برای یافتن رفتار گذرای مدارها به کمک تبدیل لاپلاس است. روش پنج مرحله ای بر شمرده شده در بخش ۱۵-۷ اساس این بحث است. اولین گام در استفاده موثر از روش تبدیل لاپلاس از بین بردن ضرورت نوشتن معادلات انتگرالی –دیفرانسیلی توصیف کننده مدار است. برای این منظور باید مدار هم از مدار را در حوزهs به دست آوریم. این امر به ما امکان می دهد که مداری بسازیم که مستقیماً در حوزه تحلیل شود بعد از فرمولبندی مدار در حوزه sمی توان از روشهای تحلیلی بدست آمده (نظیر روشهای ولتاژ گره، جریان خانه و ساده سازی مدار) استفاده کرد و معادلات جبری توصیف کننده مدار را نوشت. از حل این معادلات جبری، جریانها و ولتاژهای مجهول به صورت توابعی گویا به دست می آیند که تبدیل عکس آنها را به کمک تجزیه به کسرهای ساده به دست می اوریم. سرانجام روابط حوزه زمانی را می آزماییم تا مطمئن شویم که جوابهای به دست امده با شرایط اولیه مفروض و مقادیر نهایی معلوم سازگارند.

در بخش ۱۶-۲- هم از عناصر را در حوزه s به دست می آوریم. در شروع تحلیل مدارهای حوزه s باید دانست که بعد ولتاژ تبدیل شده ولت ثانیه و بعد جریان تبدیل شده آمپر ثانیه است. بعد نسبت ولتاژ به جریان در حوزه s ولت بر آمپر است و بنابراین در حوزه s یکای پاگیرایی ( امپدانس) اهم و یکای گذارایی ( ادمیتانس) زیمنس یا مو است.

۱۶-۲- عناصر مدار در حوزه s

روش به دست آوردن مدار هم از عناصر مدار در حوزه s ساده است. نخست رابطه ولتاژ و جریان عنصر در پایانه هایش را در حوزه زمان می نویسم. سپس از این معادله تبدیل لاپلاس می گیریم به این طریق رابطه جبری میان ولتاژ و جریان در حوزه s به دست می آید. سرانجام مدلی می سازیم که رابطه میان جریان و ولتاژ در حوزه s را برآورد سازد. در تمام این مراحل قرارداد علامت منفی را به کار می بریم.

نخست از مقاومت شروع میکنیم، بنا به قانون اهم داریم

(۱۶-۱)

از آنجا که R ثابت است، تبدیل لاپلاس معادله (۱۶-۱) چنین است .

(۱۶-۲)                                                                                                V=RI

که در آن

بنا به معادله (۱۶-۲) مدار هم ارز یک مقاومت در حوزه s مقاومتی برابر R اهم است که جریان آن Iآمپر – ثانیه و ولتاژ آن V ولت –ثانیه است.

مدارهای مقاومت در حوزه زمان و حوزه بسامد در شکل ۱۶-۱ دیده می شود به یاد داشته باشید که در تبدیل مقاومت از حوزه زمان به حوزه بسامد تغییری در آن ایجاد نمی شود.

القاگری با جریان اولیه I_o در شکل ۱۶-۲ آمده است. معادله ولتاژ و جریان آن در حوزه زمان چنین است.

شکل ۱۶-۱- مقاومت در الف) حوزه زمان ،ب) حوزه بسامد.

شکل ۱۶-۲- القا گر L هانری با جریان اولیه I_o آمپر.

در حوزه زمان چنین است

(۱۶-۳)

پس از تبدیل لاپلاس گرفتن از معادله (۱۶-۳) داریم

(۱۶-۴)

به کمک دو مدار مختلف می توان معادله (۱۶-۴) را تحقق بخشید. مدار هم از اول مداری است متشکل از یک امپدانس sL اهمی که با یک منبع ولتاژ مستقل _‎LI_o ولت ثانیه ای متوالی است. این مدار در شکل ۱۶-۳ دیده می شود در بررسی مدار هم ارز حوزه بسامدی شکل ۱۶-۳ توجه کنید که جهت ولتاژ منبع LI_o بر مبنای علامت منفی مجود در معادله (۱۶-۴) است توجه به این نکته نیز اهمیت دارد که I_o علامت جبری مخصوص به خود را دارد. یعنی چنانچه مقدار اولیه I خلاف جهت مبنای I باشد آنگاه I_o مقدار منفی دارد.

مدار هم از دیگری که معادله (۱۶-۴) را برآورده، می سازد متشکل است از یک امپدانس

SL اهمی که با یک منبع جریان مستقل I_o/s آمپر ثانیه ای موازی است. این مدار هم ارز در شکل ۱۶-۴ آمده است.

برای به دست آوردن مدار هم از شکل ۱۶-۴ راههای مختلفی موجود است. یکی از این راهها حل معادله (۱۶-۴) نسبت به جریان I و ساخت مداری بر حسب معادله به دست آمده بنابراین

(۱۶-۵)

به سادگی مشاهده می شود که مدار شکل ۱۶-۴ معادله (۱۶-۵) را برآورده می سازد دو راه دیگر به دست آوردن مدار شکل ۱۶-۴ عبارت اند از (۱) به دست اوردن هم از نور تن مدار شکل (۱۶-۳، (۲) به دست آوردن  جریان القا گر بر حسب ولتاژ آن و گرفتن تبدیل لاپلاس از معادله به دست آمده این دو روش به صورت تمرین در مسائل ۱۶-۱ و ۱۶-۲ به خواننده واگذار می شود